Задания для районного этапа турнира юних математиков

1.    «Равенство целых частей»

Найдите все натуральные n, для которых выполняется равенство:

.

2.    «Уравнение с параметром»

Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение    имеет единственное решение.

3.    «Восстановим треугольник»

Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник, если известны прямая линия, на которой лежит одна из сторон треугольника, и две точки, являющиеся центрами вписанной и вневписанной в треугольник окружностей.

4.    «Суммирование»

Найдите сумму:  .

5.    «Раскрашенная доска»

Клетчатая доска 2013х2013 раскрашена шахматным образом в белый и черный цвет. За один шаг разрешается выбрать произвольный квадрат размером 2х2 и заменить в нем цвет каждой клетки на противоположный.

Можно ли за несколько таких шагов добиться того, чтобы все клетки таблицы оказались окрашенными в один цвет?

6.    «Равнобедренный треугольник»

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол при вершине равен . На сторонах ВС и АВ взяты соответственно точки М и К так, что  и . Найдите величину угла АМК.

7.    «Максимум»

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданной стороной а и  углом . Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон  b  и c?

8.    « Неравенство»

Пусть а, b, с – положительные действительные числа. Докажите, что

.